Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn abc = 1. CMR :
\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1 .CMR
\(\dfrac{3+a}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{3+b}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{3+c}{\left(1+c\right)^2}\ge3\)
Bài này đã có ở đây:
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1 .CMR
\(\dfrac{3+a}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{3+b}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{3+c}{\left(1+c\right)^2}\ge3\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 CMR:
\(\dfrac{3+a}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{3+b}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{3+c}{\left(1+c\right)^2}\ge3\)
Cho a,b,c là số dương. CMR:
1. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
2. \(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\le a^3+b^3+c^3\)
3. \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Ta có đpcm.
Bài 2:
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$
$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn \(abc\)=1. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}\)+\(\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}\)+\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)≥\(\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(P=\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(P=\dfrac{\left(abc\right)^2}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(abc\right)^2}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(abc\right)^2}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(P=\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{b\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(bc+ca+ab\right)^2}{a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)}\) (BĐT B.C.S)
\(=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) \(\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abbcca}}{2}=\dfrac{3}{2}\) (do \(abc=1\)).
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
cho a,b,c là các số dương thõa mản abc=1 CMR: \(\dfrac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^2\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{C^2\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
cho a,b,c thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le16\left(a+b+c\right)\)
CMR:
\(\dfrac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}+\dfrac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}+\dfrac{1}{\left(c+a+2\sqrt{c+b}\right)^3}\le\dfrac{8}{9}\)
Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn
Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng
em cũng nghĩ thế mới dùng đc BDT AM-GM 3 số đúng ko thầy :)
Cho a, b, c là các số dương biết abc = 1. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+2\right)}+\dfrac{b^3}{\left(c+1\right)\left(a+2\right)}+\dfrac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+2\right)}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+2\right)}+\dfrac{b+1}{12}+\dfrac{c+2}{18}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3\left(b+1\right)\left(c+2\right)}{216\left(b+1\right)\left(c+2\right)}}=\dfrac{a}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{\left(c+1\right)\left(a+2\right)}+\dfrac{c+1}{12}+\dfrac{a+2}{18}\ge\dfrac{b}{2}\)
\(\dfrac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+2\right)}+\dfrac{a+1}{12}+\dfrac{b+2}{18}\ge\dfrac{c}{2}\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{5}{36}\left(a+b+c\right)+\dfrac{7}{12}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{13}{36}\left(a+b+c\right)-\dfrac{7}{12}\ge\dfrac{13}{36}.3\sqrt[3]{abc}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
1.Cho \(a,b,c,d\) là các số nguyên thỏa mãn \(a^3+b^3=2\left(c^3-d^3\right)\) . Chứng minh rằng a+b+c+d chia hết cho 3
2.Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D